Mitarbeiter Aktienoptionen Binomialmodell

Mitarbeiter Aktienoptionen: Bewertung und Pricing Issues Von John Summa. CTA, PhD, Gründer von HedgeMyOptions und OptionsNerd Die Bewertung von ESOs ist ein komplexes Thema, kann jedoch für praktisches Verständnis vereinfacht werden, so dass Inhaber von ESOs fundierte Entscheidungen über die Verwaltung von Aktienkompensationen treffen können. Bewertung Jede Option hat mehr oder weniger Wert auf sie abhängig von den folgenden wichtigsten Determinanten des Wertes: Volatilität, verbleibende Zeit, risikofreien Zinssatz, Basispreis und Aktienkurs. Wenn ein Optionsberechtigter eine ESO erhält, die dem Recht zusteht, zum Beispiel 1.000 Aktien der Gesellschaft zu einem Ausübungspreis von 50 zu erwerben, ist der Gewährungszeitpunkt der Aktie in der Regel gleich dem Basispreis. Mit Blick auf die nachstehende Tabelle haben wir einige Bewertungen erstellt, die auf dem bekannten und weit verbreiteten Black-Scholes-Modell für Optionspreise basieren. Wir haben die oben genannten Schlüsselvariablen angeschlossen, während einige andere Variablen (d. H. Preisänderungen, Zinssätze) festgesetzt wurden, um die Auswirkungen von Änderungen des ESO-Werts aus dem Zeitwertabbau und Änderungen der Volatilität allein zu isolieren. Zuerst, wenn Sie einen ESO Zuschuss erhalten, wie in der folgenden Tabelle, obwohl diese Optionen noch nicht im Geld sind, sind sie nicht wertlos. Sie haben einen signifikanten Wert bekannt als Zeit oder extrinsischen Wert. Während die Zeit bis zum Auslaufen Spezifikationen in tatsächlichen Fällen kann mit der Begründung, dass die Mitarbeiter nicht verbleiben können mit dem Unternehmen die volle 10 Jahre bleiben (vorausgesetzt, unter 10 Jahre für Vereinfachung) oder weil ein Stipendiat kann eine vorzeitige Ausübung, einige Fair-Value-Annahmen Werden nachfolgend unter Verwendung eines Black-Scholes-Modells dargestellt. (Um mehr zu erfahren, lesen Sie Was ist Option Moneyness und wie zu Vermeiden Closing-Optionen unter Instrinsic Value.) Vorausgesetzt, Sie halten Ihre ESOs bis zum Verfall, die folgende Tabelle liefert eine genaue Konto von Werten für eine ESO mit einem 50 Ausübungspreis mit 10 Jahren Und wenn am Geld (der Aktienkurs entspricht dem Basispreis). Bei einer angenommenen Volatilität von 30 (eine andere Annahme, die üblicherweise verwendet wird, aber die den Wert unterschätzen kann, wenn die tatsächliche Volatilität über die Zeit höher ausfällt), sehen wir, dass bei der Gewährung der Optionen 23.080 (23.08 x 1.000 23.080) ). Wie die Zeit vergeht, können wir sagen, von 10 Jahren auf nur drei Jahre bis zum Verfall, die ESOs verlieren Wert (wieder davon ausgegangen, dass Aktienkurs bleibt der gleiche), fällt von 23.080 auf 12.100. Das ist Zeitverlust. Theoretischer Wert der ESO über die Zeit - 30 Angenommene Volatilität Abbildung 4: Fair Value Preise für eine at-the-money ESO mit Ausübungspreis von 50 unter verschiedenen Annahmen über die verbleibende Zeit und Volatilität. Abbildung 4 zeigt den gleichen Zeitplan für die verbleibenden Preise bis zum Verfallsdatum, aber hier addieren wir einen höheren angenommenen Volatilitätsgrad - jetzt 60, von 30. Die gelbe Grafik repräsentiert die untere angenommene Volatilität von 30, die insgesamt geringere Marktwerte aufweist Zeitpunkte. Das rote Diagramm zeigt mittlerweile Werte mit einer höheren angenommenen Volatilität (60) und einer verbleibenden Restzeit auf den ESOs. Offensichtlich zeigen Sie bei einem höheren Volatilitätsgrad einen größeren ESO-Wert. Zum Beispiel, bei drei verbleibenden Jahren, anstatt nur 12.000 wie im vorherigen Fall bei 30 Volatilität, haben wir 21.000 im Wert bei 60 Volatilität. So können Volatilitätsannahmen einen großen Einfluss auf den theoretischen oder den beizulegenden Zeitwert haben und sollten Faktoren für die Verwaltung Ihrer ESO sein. Die folgende Tabelle zeigt die gleichen Daten im Tabellenformat für die 60 angenommenen Volatilitätswerte. (Erfahren Sie mehr über die Berechnung von Optionswerten in ESOs unter Verwendung des Black-Scholes-Modells.) Theoretischer Wert der ESO-Laufzeit 60 Angenommene VolatilitätSOs: Verwendung des Binomialmodells Am 1. April 2004 veröffentlichte das Financial Accounting Standards Board (FASB) Vorschlag zur neuen Rechnungslegung von Mitarbeiteroptionsoptionen. Die endgültigen Regeln werden voraussichtlich im Herbst 2004 veröffentlicht werden. Aber die endgültigen Regeln werden höchstwahrscheinlich dem Vorschlag ähneln: Der FASB hat - offensichtlich zu seiner eigenen Zufriedenheit - die sichtbarste und offensichtlichste Kritik an dem Vorschlag, Aktienoptionen aufzuwenden, zurückgewiesen. Derzeit nutzen die meisten Unternehmen das Black-Scholes-Optionspreismodell zum Preis ihrer ESOs. Die neuen Regeln ermutigen jedoch - aber nicht verlangen - Unternehmen, das Binomialmodell zu nutzen. Wir können daher erwarten, dass sich die Unternehmen im nächsten Jahresbericht auf das Binomial umstellen. In diesem Abschnitt erklären wir die Idee hinter dem Binomialmodell. Der Binomial baut einen Baum der künftigen Aktienkurse Der Black-Scholes ist ein geschlossenes Modell, das bedeutet, dass es einen Optionspreis aus einer Gleichung löst oder ableitet. Im Gegensatz dazu ist das Binomial ein offenes oder Gittermodell. Es schafft einen Baum möglicher zukünftiger Aktienkursbewegungen und induziert den Optionspreis. Beginnen wir mit einem einstufigen Binomial. Angenommen, wir gewähren eine Option auf 10 Aktien, die in einem Jahr verfallen werden. Wir nehmen auch an, dass es eine Wahrscheinlichkeit von 50 gibt, dass der Preis 12 über dem Jahr springen wird und eine Wahrscheinlichkeit 50, daß der Vorrat 12 fallen läßt. Es gibt drei grundlegende Berechnungen. Zuerst planen wir die beiden möglichen künftigen Aktienkurse. Zweitens übersetzen wir die Aktienkurse in zukünftige Optionswerte: am Ende des Jahres wird diese Option entweder 1,20 oder gar nichts wert sein. Drittens reduzieren wir die zukünftigen Werte auf einen Barwert. In diesem Fall die 1,20 Diskonte auf 1,14, weil wir eine 5 risikofreie Rate annehmen. Nachdem wir jedes mögliche Resultat durch 50 gewichtet haben, sagt das einstufige Binomial, daß unsere Wahl 0.57 an der Bewilligung wert ist. Ein vollwertiges Binomial verlängert einfach dieses einstufige Modell in eine zufällige Wanderung von vielen Schritten (oder Intervallen). Als solche, die Berechnung der Binomiale beinhaltet die gleichen drei grundlegenden Aktionen. Zuerst wird der Baum der möglichen zukünftigen Aktienkurse aufgebaut, und die Volatilitätseingabe bestimmt die Größe jedes Aufwärts - oder Abwärtssprunges. Zweitens werden die zukünftigen Aktienkurse in jedem Intervall auf dem Baum in Optionswerte umgerechnet. Drittens werden diese zukünftigen Optionswerte auf einen einzigen Barwert zurückgerechnet. Dieser dritte Schritt wird Rückwärtsinduktion genannt. Die Rückwärtsinduktion beginnt einfach mit den endgültigen Optionen-Werten und arbeitet rückwärts durch eine Reihe von einstufigen Mini-Modellen. Zum Beispiel ist der Optionswert für Su4 oben (der vorletzte Wert am oberen Rand des Baums) nur eine gewichtete Mischung der beiden Endknoten, die danach kommen. Und Su3 wird zu einer gewichteten Mischung aus Su4 und Su2, und so weiter, bis das Modell zu einem einzigen Optionswert konvergiert - in Gegenwartsbedingungen - an der Vorderseite des Baums. Der Binomialbaum Werte ein American-Style Option mit Flexibilität Ein großer Vorteil des Binomial ist, dass es eine amerikanische Option-Option. Die vor dem Ende ihrer Laufzeit ausgeübt werden können, und es ist der Stil der Option ESOs in der Regel. Das Modell erreicht diese Bewertungskapazität durch Vergleich des berechneten Werts an jedem Knoten (wie oben) mit dem intrinsischen Wert an diesem Knoten. In den wenigen Fällen, in denen der intrinsische Wert größer ist, geht das Modell davon aus, dass die Option den intrinsischen Wert am Knoten wert ist. Dies hat insgesamt den Effekt, dass der Wert der amerikanischen Option gegenüber einer Option im europäischen Stil erhöht wird. Da einige der Knoten erhöht werden. Sie können sehen, dass das Binomial ein brute-force Modell ist, das mit fast unbegrenzter Flexibilität konstruiert werden kann. Der FASB bevorzugt das Binomialmodell, da es die einzigartigen Eigenschaften eines ESOs aufbauen kann. Betrachten Sie zwei wichtige Merkmale, die der FASB Unternehmen empfiehlt, in das binomische Modell zu investieren: Ausübungsbeschränkungen und frühzeitige Ausübung. Der Binomialbaum oben ist derselbe wie vorher, außer mit zwei Unterschieden. Da die Option in den ersten Jahren nicht ausgeschöpft wird, nimmt das Modell keine frühen Übungen während dieser Jahre an (was getan werden würde, um hohe intrinsische Werte in den aufwärts gerichteten Sprungwegen zu lösen). Zweitens - und das ist ein wesentlicher Unterschied - erlaubt das Binomial einen Übungsfaktor. FASB nennt dies einen suboptimalen Übungsfaktor. Ein Ausübungsfaktor von beispielsweise 2x erlaubt es dem Modell, davon auszugehen, dass Mitarbeiter die Option ausüben werden, wenn der Aktienkurs auf den doppelten (2x) Ausübungspreis erhöht wird. Die Idee hinter diesem Faktor ist einfach, frühzeitige Ausübung von in-the-money Optionen unter günstigen Umständen zu antizipieren. Wenn der Ausübungsfaktor ausgelöst wird, wird davon ausgegangen, dass die Option ausgeübt wird, und der Binomialbaum stoppt grundsätzlich auf diesem Knoten. Sie können sehen, diese beiden Funktionen reduzieren den Wert der Option, alle anderen Dinge gleich. Der nicht angewendete Abschnitt des Modells begrenzt den Wert an jedem Knoten auf den diskontierten Wert der beiden zukünftigen Knoten (auch wenn der innere Wert größer ist und daher normalerweise verwendet wird). Der Übungsfaktor eliminiert zusätzlichen Wert, der der Option zufallen könnte, wenn er weiter auf der Aufwärtsbewegung fahren würde. Die neue Rechnungslegungsregel begünstigt das Binomial Die vorgeschlagene Rechnungslegungsvorschrift (geändert SFAS 123) begünstigt das Binomial zur Preisbildung von ESOs. Da Unternehmen vom Black-Scholes zum Binomial wechseln, gibt es vier wesentliche Unterschiede in den Bewertungsmethoden: Denken Sie daran, dass ESOs weit weniger liquide sind als gehandelte Optionen, da ein Mitarbeiter seine Option nicht an einer Börse verkaufen kann. Sie können sich daran erinnern, dass die Black-Scholes diese mit einer Band-Hilfe-Lösung behandelt: Unternehmen nutzen eine reduzierte erwartete Leben statt der vollen 10-Jahres-Begriff als Eingang in die Black-Scholes. Da das Binomialmodell bereits in diesen Illiquiditätsfaktoren durch die Vesting-Einschränkungen und frühen Trainingsannahmen aufgebaut wird, akzeptiert das Binomial den vollständigen 10-Jahres-Term als Eingabe. Praktische Implikationen Das Binomial enthält mehr Annahmen als die Black-Scholes. Einige haben argumentiert, dass das Binomial dramatisch niedrigere Kostenabschätzungen als die Black-Scholes produzieren wird, aber dies ist nicht unbedingt der Fall. Umschalten von Black-Scholes auf Binomial kann leicht erhöhen, pflegen oder verringern die Optionen Kosten. Sicherlich, wenn ein Unternehmen eine aggressiv niedrige Ausübung Faktor wie 1,25x (die Mitarbeiter davon ausgehen, ihre Optionen ausüben werden, wenn die Aktie ist 25 über dem Ausübungspreis), dann wird das Binomial wird eine niedrigere Schätzung des Wertes. Wenn andererseits alle Eingaben unverändert sind und der Ausübungsfaktor hoch ist, kann der Optionswert unter dem Binomialwert ansteigen, da er den zusätzlichen Wert von amerikanischen ESOs beinhaltet, der frühzeitig ausgeübt werden kann. Natürlich kann ein Unternehmen auch versuchen, einen niedrigeren Wert zu erzielen, indem er die Eingaben optimiert, während er Modelle modifiziert. Zum Beispiel wird ein Umstieg von 40 Volatilitäten unter Black-Scholes auf einen Volatilitätsbereich von 20 bis 40 unter dem Binomial wahrscheinlich einen niedrigeren Optionswert erzeugen. Aber in diesem Beispiel ist die eigentliche Ursache für einen niedrigeren Wert nicht eine Veränderung der Optionen-Preismodelle, so viel wie eine Verringerung der durchschnittlichen Volatilität von 40-30. Im folgenden vergleichen wir den Black-Scholes-Wert mit dem Binomialwert für eine Option auf einer 100-Aktie. Weve verwendete die gleiche Volatilität für beide Modelle, sodass der primäre Bewertungsunterschied auf (1) der erwarteten Lebenseingabe reduziert wurde, die in den Black-Scholes verwendet wurde, verglichen mit (2) dem Ausübungsfaktor, der im Binomial verwendet wird. Andere Variablen sind natürlich wichtig, aber das ist der entscheidende Unterschied zwischen den Modellen, wenn dieselbe Volatilität verwendet wird. Sie können sehen, dass, wenn Sie alles zusammen setzen, das Binomial höher sein könnte, niedriger oder ähnlich den Black-Scholes. Zusammenfassung Dieser und der vorhergehende Abschnitt dieses Merkmals fassen zwei unterschiedliche Ansätze zur Schätzung des beizulegenden Zeitwerts einer ESO zum Zeitpunkt ihrer Gewährung zusammen. Nach den vorgeschlagenen Regeln ist dieser beizulegende Zeitwert als Aufwand für Gewinn - und Verlustrechnungen mit nach dem 15. Dezember 2004 beginnenden Geschäftsjahren zu erfassen. Wenn ein öffentlicher Markt oder ein Börsenhandel für ESOs vorliegt, könnte und würde die Gesellschaft Marktpreise verwenden. Das Binomialmodell stellt einen Versuch dar, den theoretisch korrekten fairen Wert eines ESO aufgrund seiner einzigartigen Eigenschaften feinabzustimmen. Allerdings ist es nur ein Versuch, den beizulegenden Zeitwert unter Berücksichtigung zukünftiger Unsicherheiten festzuhalten. Die letztendlich realisierten Kosten der Option hängen von der zukünftigen Aktienkurs-Trajektorie ab, die wahrscheinlich vom Fair Value abweichen wird. ESOs: Verdünnung - Teil 1